(f o g)(x) = f(g(x)) (3.25)
3.2.4 Fungsi komposisi
Fungsi komposisi adalah fungsi yang merupakan kombinasi
dari beberapa fungsi. Misal terdapat dua buah fungsi, yaitu
f dan g. Jika daerah nilai fungsi g merupakan daerah definisi
dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis dengan f o g
(baca f circle g) dan didefinisikan sebagai,
Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi
dari g maka kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f)
dan didefinisikan sebagai,
(g o f)(x) = g(f(x)) (3.26)
Contoh 3.27
Jika diketahui : f(x) = x2 + 2x + 1 dan g(x) = x + 3
Tentukan a) (fog)(x) dan b) (gof)(x)
Penyelesaian :
a)(fog)(x) = f(g(x)) = f (x+3) = (x+3)2+2(x+3)+1
= x2 + 8x + 16
b) (gof)(x) = g(f(x)) = g (x2+2x+1) = (x2+2x+1)+3 = x2+2x+4
3.2.5 Fungsi satu ke satu
Misal terdapat suatu fungsi f. Jika setiap satu daerah nilai
(range) fungsi f berasal dari satu daerah definisinya,
maka fungsi tersebut dikatakan fungsi satu ke satu.
Sebagai contoh f(x) = x3 adalah suatu fungsi yang
mempunyai daerah definisi untuk semua x ril dan untuk
setiap daerah definisi menghasilkan satu daerah nilai.
Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x3 adalah fungsi satu
ke satu.
Contoh lainnya, f(x) = x2 adalah suatu fungsi yangmempunyai daerah definisi untuk semua x ril.
Akan tetapi setiap satu daerah nilai dihasilkan olehlebih dari satu daerah nilai (dalam hal ini dua),sehingga f(x) = x2 bukan fungsi satu ke satu.
2.2.6 Fungsi invers
Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutnya f dikatakan
mempunyai invers jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi
g sedemikian rupa sehingga,
i) daerah definisi fungsi g merupakan daerah nilai fingsi f
ii) pada semua daerah definisi f dan semua daerah nilai g
berlaku :
f(x) = y g(y) = x 2.27
Pernyataan diatas menunjukkan bahwa g adalah invers dari f dan ditulis,
g = f -1 atau x = f -1 (x) 2.28
Contoh 2.27
Tentukan invers dari persamaan : y = x3 + 2
Penyelesaian
y = x3 + 2 x3 = y – 2 x = ( y–2 )1/3
f -1(y) = (y – 2)1/3
f -1(x) = (x – 2)1/3
2.2.7 Fungsi transenden
2.2.7.1 Fungsi eksponen
Misal terdapat bilangan a>0. Selanjutnya fungsi f
yang didefinisikan sebagai f(x) = ax disebut fungsi
eksponen dengan basis a. Sifat-sifat ax dapat
dijelaskan sebagai berikut :
v) Jik aterdapat x < z, maka (3.29)
ax < az untuk a > 1
ax > az untuk 0 < a <1
i) ax > 0 untuk semua harga x dan daerah nilai dari ax
adalah semua bilangan positif.
ii) Titik potong dengan sumbu y adalah y = 1
iii) Tidak ada titik potong dengan sumbu x
iv) Sumbu x adalah asimtot datar dari ax
Dapat dijelaskan bahwa bila a > 1 maka grafik ax akan menanjak
pada arah kanan (Gambar 3.15a).
Sedangkan bila a < 1, grafiknya akan menurun kearah sebelah
kanan (Gambar 3.15b).
1
1
O
O
x
y
x
y
(a)
(b)
Gambar 3.15
Fungsi eksponen ex
Fungsi yang mempunyai bentuk ex disebut fungsi eksponen
natural atau fungsi eksponen dengan basis e. Bilangan e adalah
bilangan irasional yang besarnya adalah 2,7182818…
Persamaan eksponensial
Misal a > 0 dan a 1
Jika (3.30)
ax = az untuk x = z
ax az untuk x z
Contoh 3.28
Jika 27 = 3 , tentukan nilai x
x
x2 – 4
27 = 3 (33) = 3 3 = 3
x
x2 – 4
x2 – 4
x
x2 – 4
3x
3x = x2 – 4 x2 – 3x – 4 = 0 (x – 4)(x +1)
Didapat x1 = 4 , x2 = –1
Contoh 3.29
Tentukan nilai basis a jika f(x) = ax melalui titik (2,9)
Penyelesaian :
f(x) = ax 9 = a2 32 = a2
Jadi a = 3
3.2.7.2 Fungsi logaritma
Fungsi logaritma adalah fungsi yang didefinisikan sebagai
invers dari fungsi eksponensial. Misal terdapat sebuah
bilangan a>0 dan a1. Untuk setiap bilangan positif y maka
logaritma y dengan basis a ditulis,
loga y adalah bilangan unik x sedemikian, sehingga ax = y
Jadi
loga y = x y = ax 3.31
dan dibaca “log y basis a sama dengan x jika dan hanya jika y
sama dengan a pangkat x”. Jika harga y pada pers. 3.31 sama
dengan satu, maka harga x = 0. Jika harga y = a maka harga
x = 1.
Jadi,
loga 1 = 0 (3.32)
loga a = 1 (3.33)
Contoh 3.30
Ubahlah persamaan yang mengandung eksponen berikut ini
menjadi bentuk logaritma !
a)103 b) 6251/4
Penyelesaian
a) y = 103 log10 y = 3
b) y = 6251/4 log625 y = 1/4
Contoh 3.31
Penyelesaan
Hitung a) log2 32 b) log16 1/4
a) y = log2 32 2y = 32 = 25 . Jadi y = 5
b) y = log16 ¼ 16y =1/4 = 4–1 24y = 2– 2
Jadi 4y = –2 y = –1/2
Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a 1 fungsi
logaritma dengan basis a adalah fungsi yang didefinisikan sebagai,
f(x) = loga x untuk x > 0
Jika kita tulis logx a = loga x , maka dari persamaan 3.31 didapat,
a = x , untuk x > 0 (3.34)
loga x
loga ax = x , untuk setiap bilangan x (3.35)
Jika kita tulis persamaan ax = ax, maka dari persamaan 2.31
dapat ditulis menjadi,
Hukum-hukum logaritma
a) logb PQ = logb P + logb Q
b) logb = logb P – logb Q
P
Q
c) logb Pn = n logb P
d) logb = logb P
Logaritma natural
Logaritma natural adalah logaritma yang mempunyai basis e.
Logaritma natural ditulis sebagai,
loge x = ln x (3.36)