ESTIMASI PARAMETER

VI. ESTIMASI PARAMETER

Estimasi Parameter :Metode statistika yang berfungsi untukmengestimasi/menduga/memperkirakan nilai karakteristik dari populasiatau parameter populasi berdasarkan nilai karakteristik sampel ataustatistik sampel.

Syarat : sampel harus dapat mewakili populasi  sampling dilakukan

secara acak.

Contoh :

Hasil pemilu dihitung secara cepat (Quickcount) dengan sampel untuk tiapwilayah pemilihan, valid jika pengambilan sampel dilakukan secara acak.

Cara estimasi :

1.Estimasi Titik

Parameter populasi diestimasi dengan karakteristik sampel (Statistik)

Mean populasi =  =

Variansi populasi = 2 = s2

standar deviasi =  = s

2. Estimasi Interval

Nilai parameter populasi diestimasi pada kisaran tertentu.

Misal X1,X2,X3,…Xn adalah sampel acak dari suatu populasi dengan adalah parameter populasi maka estimasi interval untuk  adalah :

P(B≤  ≤A)=1-

Disebut dengan Interval konfidensi/kepercayaan untuk  dari B sampai Ayang dihitung pada probabilitas 1-.

Bila parameter yang diestimasi adalah H dan distribusi populasi yangdigunakan  (misal distribusi Z, t-student, chi-kuadrat, atau F), galat (error)= dan statistik dari data sampel adalah k, maka kisaran parameter H pada suatuinterval kepercayaan (1-) dapat diestimasi dengan persamaan probabilitas:

P(h-  ≤ H ≤ h  )= 1- …….(1)

Dengan :

h-  = titik minimum (limit kepercayaan bawah)

h   = titik maksimum (limit kepercayaan atas)

1- = koefisien kepercayaan

(1-) 100% = interval kepercayaan

 = tingkat kesalahan yang masih ditolerir atau persentase nilai yang tidakdapat diestimasi.

Parameter yang umum diestimasi:

1. Ukuran pemusatan : mean=, Selisih mean = 1 - 2 = 

Estimasi mean dan selisih mean dapat dilakukan dengan :

a.Distribusi Z :

-Jika sampel yang diamati berasal dari populasi yang variansinya(2) dan standar deviasinya () diketahui.

-Jika sampel yang berasal dari populasi yang variansinya (2) danstandar deviasinya () tidak diketahui ukuran sampel besar (n30).

b.Distribusi t-student (Distribusi t)

-Jika sampel berasal dari populasi yang tidak diketahui variansinya(2) dan standar deviasinya () ukuran sampel kecil (n30).

2. Ukuran penyebaran : Variansi = 2, Rasio variansi dua populasi = F

Estimasi nilai variansi dilakukan dengan distribusi chi-kuadrat (X2),sedangkan estimasi nilai ratio variansi dua populasi dengan distribusiFisher (F).

$C:\Documents and Settings\PHKA21\My Documents\gamb parameter.jpg$

A. Estimasi Mean Populasi

1.Estimasi mean populasi sampel besar dengan distribusi Z

Misal x1,x2,x3….xn adalah sampel acak dari suatu populasi dengan mean tidak diketahui dan variasi 2, dan = mean sampel maka :

Mean ( )=

Var (( )=2/n

Menurut teorama limit pusat jika n besar variabel random mendekatidistribusi normal

Maka rumus 1 akan berubah menjadi :

Jika nilai Z diganti menjadi :

Biasanya 2 tidak diketahui, tetapi karena n besar maka 2 dapat diasumsikansama dengan s2.

Sehingga:

Contoh :

Suatu sampel produk ikan dalam kaleng sebanyak 400 buah mempunyai rata-rata umur simpan 23,4 bulan dan standar deviasi s=6,2 bulan. Berapakahkisaran umur simpan produk ikan dalam kaleng tersebut pada intervalkepercayaan 95%.

Jawab :

Diketahui : n besar maka digunakan distribusi Z dengan =s

=23,4 bulan dan s=6,2

1-=95%=0,95  = 0,05 /2 = 0,025 Z0,025 = 1,96. Maka:

Kesimpulan: pada tingkat kepercayaan 95% maka umur simpas produk ikandalam kaleng adalah antara 22,79 – 24,01 bulan.

2. Estimasi mean populasi dengan sampel kecil.

-Digunakan untuk data sampel dengan variansinya (2) dan standardeviasinya () tidak diketahui dan ukuran sampel kecil (n<30).

-Jika adalah transformasi t dari sampel x1X1,X2,X3,…Xn. Jikasampel diambil dari populasi berdistribusi t dengan derajat bebas (n-1)ditulis t(n-1). Distribusi ini tidak tergantung pada µ dan  populasi.

-Grafik distribusi t lebih memencar dibanding distribusi Z jika n semakinbesar semakin mendekati distribusi Z.

P(-tα/2(v) ≤T ≤ t α/2(v))=1-α

Jika nilai t diganti menjadi :

B. Estimasi interval proporsi p suatu populasi

Jika X adalah variabel random binomial (n;p) maka variabel random X/n

mempunyai mean = p dan variasi untuk n besar harga

Mendekati distribusi normal.

Pada interval konfidensi 1-α untuk p adalah:

Untuk estimasi proporsi jumlah sampel harus besar.

C. Estimasi Variansi populasi normal

Transformasi

S2 dihitung dari suatu sampel random x1X1,X2,X3,…Xn yang diambil daripopulasi berdistribusi normal dengan variansi 2 berdistribusi X2 dengan derajatbebas = n-1.

Tabel V : harga X2 (k;α) sehingga P(X2 >X2 (k;α) =α

Untuk 0<α<1 maka :

Untuk estimasi standar deviasi  digunakan :

$C:\Documents and Settings\PHKA21\My Documents\Untitled-Scanned-02.jpg$

Contoh :

Ingin diteliti interval variansi (2) dan standar deviasinya () dari panjang buncisyang akan dikalengkan. Sampel acak sebanyak 20 buah dan diperoleh S2=0,01inch dan S = 0,1 inch. Hitunglah interval variansi (2) dan standar deviasinya ()yang sebenarnya dari buncis tersebut pada tingkat kepercayaan 95%.

Jawab :

Diketahuin=201-α=95%

s2=0,01α=5%

s=0,1α/2=0,025

Dari tabel V diperoleh : X2 (19;0,025)=32,85 dan X2 (19;0,975) =8,91 maka :

P(0,0058≤2≤0,0213)=95%

Atau P(0,076≤≤0,146)=95%

Kesimpulan : Pada tingkat kepercayaan 95% variansi panjang buncis adalah0,0058 sampai dengan 0,0213 inch sedangkan standar deviasinya berkisarantara 0,076 sampai 0,146 inch.

B. Estimasi parameter dua populasi normal

B.1. Estimasi selisih mean dua populasi normal

Membandingkan nilai mean dua populasi.

a.Sampel besar : Jika variansi dan standar deviasikedua populasi diketahui.

b.Sampel besar : . Jika variansi dan standar deviasikedua populasi tidak diketahui, tetapi n besar(n30) sehingga  didekati dengan s

c. Sampel besar : Jika variansi dan standar deviasitidak diketahui dan diasumsikan sama sehinggadihitung variansi gabungan = Sp2

Contoh :

Seorang peneliti ingin membandingkan daya simpandodol durian yang dibuat menggunakan cara lamadan cara baru. Hasil penelitian dengan diperolehdata :

Lakukan estimasi selisih mean umur simpan dodol padainterval kepercayaan 95%. Apakah dapatdisimpulkan bahwa produk yang dibuat dengan carabaru meningkatkan daya simpan dodol ?

Cara lama

Cara Baru

n =50

n = 60

Rata-rata = 1271 hari

Rata-rata = 1416 hari

s= 148 hari

s= 261 hari

B.2. Estimasi selisih mean dua populasi norma untuksampel kecil.

Distribusi t student dengan k = n1 + n2 - 2

a.Jika variansi kedua populasi sama

b.Jika variansi kedua populasi tidak sama

•Dengan derajat bebas didekati denganperhitungan, jika k tidak bulat dibulatkan keatas.

Contoh :

Ketebalan hasil cetakan nugget dua buah mesinpencetak akan diteliti. Dari pengambilan sampelsecara random dari kedua mesin tersebut diperolehdata :

Lakukan estimasi selisih mean ketebalan nugget padainterval kepercayaan 95%. Apakah dapat disimpul-kan bahwa produk yang dibuat dengan mesin yangberbeda mempunyai ketebalan yang sama ?

Mesin A

Mesin B

n =12

n = 11

Rata-rata = 18,75 mm

Rata-rata = 18,61 mm

s2= 0,21

s2= 0,34

C. Estimasi Selisih proposi dua populasi normal

Distribusi Z

Contoh :

Hasil survei menunjukkan bahwa pada tahun 2002 diKecamatan Sedayu dari 400 KK terdapat 164 petanisedangkan hasil survei saat ini diketahui dari 200 KK yanghanya 128 KK yang bekerja sebagai petani. Lakukan estimasiselisih proporsi KK yang pekerjaannya sebagai petani daritahun 2002 dan pada saat ini pada tingkat kepercayaan 90%.Apakah dapat disimpulkan bahwa proporsi KK petani mulaimenurun?

D. Estimasi Ratio variansi dua populasi normal

Distribusi F  Uji Homogenitas

a.Variansi

b.Standar Deviasi

Contoh :

Sebuah perusahaan ingin membeli alat pengukurkelembaban udara. Sebuah suplier menawarkandua merk yang berbeda, untuk menentukan pilihandilakukan percobaan pengukuran kelembabanudara disuatu ruang yang sama dan diperoleh datasebagai berikut :

Lakukan estimasi ratio variansi kedua Alat tersebutpada tingkat kepercayaan 90%. Mana yang dipilih ?

Alat A

Alat B

n = 6

n = 5

Rata-rata = 0,667 mHg

Rata-rata = 0,607 mHg

s2= 0,010858

s2=0,000346

Diketahui bahwa konsumsi ikan dapat mencegah penyakitjantung koroner. Berdasarkan hasil penelitian diketahui kadarkolesterol darah dari kelompok konsumen yangmengkonsumsi ikan setiap hari (A) dan dari konsumen yangtidak mengkonsumsi ikan setiap hari (B).

Data :

Lakukan estimasi selisish kadar kolesterol kedua kelompokkonsumen tersebut pada tingkat kepercayaan 99%.

Apakah dapat disimpulkan bahwa konsumsi ikan dapatmenghambat peningkatan kadar kolesterol darah ?

Kelompok A

Kelompok B

Jumlah sampel

159

Rata-rata kadarkolesterol

146 mg/dl

158 mg/dl

Standar deviasi

66 dl

75 dl